十木的博客

检书烧烛短，看剑引杯长

冒泡排序

发表于 更新于

题目描述

给定一个长度为 n 的序列 ，排序的轮数 k，执行如下程序：

1
2
3
4
for i from 1 to k
  for j from 1 to n – 1
    if A[j] > A[j+1]
      swap(A[j], A[j+1])

输出排序之后的序列。

$n,k\le 2\times 10^5$

题解

1

可以离散化一下。

可以发现每次排序后如果一个数之前的所有数都比他小，那么他会向后移动到下一个比他大的数。否则他会向前移动一位，并且他前面比他大的数会少一个。

因此用树状数组统计每个数前面有多少比他大的数。如果 $\ge k$，那么他只会前移 $k$ 位；否则，在他的前面没有比他大的数之后，他会移动到此时第一个比他大的数的前一位。容易知道，最后他会移动到原来 $k-1$ 轮以后最靠前的比他大的数前一位。那么可以从大到小考虑，在他开始后退以后他就成为最靠前的比以后的数大的数。

可以用平衡树来维护 x 轮后最靠前的那个已经考虑了的数，即大于后面的数的数。

$O(n\log n)$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x)
{
    x=0;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
}

struct seq
{
    int val,id;
}s[200010];int mp[200010],a[200010];
bool operator < (seq x,seq y){return x.val<y.val;}

int fw[200010];
int n,k;
int *tr[200010],buf[200010],*now;

namespace tarr
{
    int t[200010];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void insert(int pos)
    {
        while(pos<=n)++t[pos],pos+=lowbit(pos);
    }
    int query(int pos)
    {
        int ret=0;
        while(pos)ret+=t[pos],pos-=lowbit(pos);
        return ret;
    }
}
namespace treap
{
    struct tree
    {
        int ls,rs,pri,siz,tg,v;
    }t[200010];int rt;
    void upd(int u){t[u].siz=t[t[u].ls].siz+t[t[u].rs].siz+1;}
    void newt(int id,int v)
    {
        t[id].ls=t[id].rs=t[id].tg=0;
        t[id].pri=rand(),t[id].siz=1,t[id].v=v;
    }
    void d(int u)
    {
        if(t[u].ls)t[t[u].ls].tg+=t[u].tg,t[t[u].ls].v+=t[u].tg;
        if(t[u].rs)t[t[u].rs].tg+=t[u].tg,t[t[u].rs].v+=t[u].tg;
        t[u].tg=0;
    }
    void split(int siz,int o,int &u,int &v)
    {
        if(!o)
        {
            u=v=0;
            return;
        }
        if(!siz)
        {
            u=0,v=o;
            return;
        }
        if(siz==t[o].siz)
        {
            u=o,v=0;
            return;
        }
        d(o);
        if(t[t[o].ls].siz>=siz)v=o,split(siz,t[o].ls,u,t[v].ls);
        else u=o,split(siz-t[t[o].ls].siz-1,t[o].rs,t[u].rs,v);
        upd(o);
    }
    int merge(int u,int v)
    {
        if(!u)return v;if(!v)return u;
        if(t[u].pri>t[v].pri)
        {
            d(u);
            t[u].rs=merge(t[u].rs,v);
            upd(u);
            return u;
        }
        d(v);
        t[v].ls=merge(u,t[v].ls);
        upd(v);
        return v;
    }
    void init()
    {
        srand(20070106);rt=1,newt(1,s[n].id);s[n].id=n;
        for(int i=2;i<=k;i++)newt(i,n),rt=merge(rt,i);
    }
    int insert(int pos,int x)
    {
        int u,v,id,ret;split(k-1,rt,rt,id),
        split(pos,rt,u,v);ret=t[id].v-1;
        if(v)--t[v].tg,--t[v].v;newt(id,x);
        v=merge(id,v);
        rt=merge(u,v);
        return ret;
    }
}

int main()
{
    freopen("fable.in","r",stdin);freopen("fable.out","w",stdout);
    read(n),read(k);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(s[i].val),s[i].id=i;sort(s+1,s+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)mp[i]=s[i].val,s[i].val=i,a[s[i].id]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)fw[i]=i-tarr::query(a[i]-1)-1,tarr::insert(a[i]);
    treap::init();
    for(int i=n-1;i;i--)
    {
        if(fw[s[i].id]<k)
        {
            s[i].id=treap::insert(fw[s[i].id],s[i].id-fw[s[i].id]);
            continue;
        }
        s[i].id-=k;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)a[s[i].id]=mp[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",a[i]);
    return 0;
}

2

考虑一个数：考虑所有比他大的数，每一轮中它们的位置变化：从左到右，第一个变到第二个左面一位，第二个变到第三个左面一位……这里我们不关心谁是谁，对于这个数他们的影响没有什么不同。

因此，一个数如果不是永远不会向后退，那么她一定后退到第 $k$ 个比他大的数的前 $k$ 位。

实现方式比较多。此处采用比较简洁的堆。如果已经出现 $k$ 个比他大，就弹出。并且入队出对错开 $k$ 位。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

priority_queue <int,vector<int>,greater<int>> q;

int main()
{
    freopen("fable.in","r",stdin);freopen("fable.out","w",stdout);
    int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1,x;i<=k;i++)scanf("%d",&x),q.push(x);
    for(int i=k+1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),q.push(x),printf("%d\n",q.top()),q.pop();
    while(!q.empty())printf("%d\n",q.top()),q.pop();
    return 0;
}