数列
对于数列 $a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$，已知 $a_1,a_2$，求通项公式。
对于此类问题，基本的思想是在等式两边制造同构。不妨设同构的部分是 $a_n-ta_{n-1}$，则：
$$
a_n-ta_{n-1}=(p-t)(a_{n-1}-ta_{n-2})-(t^2-pt-q)a_{n-2}
$$
$$
\therefore t^2-pt-q=0
$$
$t^2-pt-q=0$ 称为数列 ${a_n}$ 的特征方程，其根称为 ${a_n}$ 的特征根。
如果方程有不等两根（不是实根也可以），那么将推出的两个式子（分别用两根推出 $a_n-ta_{n-1}$ 的通项）作差，消去 $a_n$ 项。
若方程两根相等，则 $t=\frac{p}{2},p-t=t$，最后可以整理出 $\frac{a_n}{t^n}$ 是等差数列。
微分方程
特征根法同时也是解常系数齐次线性微分方程的方法。
对于 $y’’-py’-qy=0$，设 $y’’-ry’=(p-r)(y’-ry’’)$，则 $r^2-pr-q=0$。
若 $r_1\neq r_2,y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$
$r_1=r_2,y=(c_1+c_2x)e^{rx}$
若有两复根 $a\pm bi,y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$
联系
一方面，两者的思想都在于构造同构；另一方面，事实上，对于 $a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$，
$$
A_n=\left[\begin{array}{l}a_n\\a_{n-1}\end{array}\right],A_n=\left[\begin{array}{l}p&q\\1&0\end{array}\right]\times A_{n-1}=\left[\begin{array}{l}p&q\\1&0\end{array}\right]^{n-2}\times\left[\begin{array}{l}a_2\\a_1\end{array}\right]
$$
$$
(\lambda-p)\lambda=q,\lambda^2-p\lambda-q=0.
$$
数列的特征根事实上是它所对应的矩阵的特征值。我们可以将 $\left[\begin{array}{l}a_2\\a_1\end{array}\right]$ 用两个特征向量表示（易知如果 $\lambda_1=\lambda_2$，那么 $\left[\begin{array}{l}a_2\\a_1\end{array}\right]$ 和 $\lambda$ 在同一直线上）本质上，这种作法是将一个向量的旋转和伸缩转化为在特征向量方向的伸缩。
对于 $y’’-py’-qy=0$，
$$
\left[\begin{array}{l}p&q\\1&0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{l}y’\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}y’’\\y’\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{l}y’\\y\end{array}\right]=e^{\left[\begin{array}{l}p&q\\1&0\end{array}\right]x}\left[\begin{array}{l}y_0’\\y_0\end{array}\right]
$$
类比刚才的想法，将 $\left[\begin{array}{l}y_0’\\y_0\end{array}\right]$ 转化成特征向量来表示。
矩阵本质上是对信息的组合加以抽象的产物。由于有更高的抽象程度，它可以被赋予更多的含义，找到不同事物的共同结构特点。同时无论是哪种方法其思想都在于构造统一的表示方法，可见抽象与统一大概是数学之魂吧。